Semi-algebraic complexity-additive complexity of diagonalization of quadratic forms

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04061 Abstracts Collection -- Real Computation and Complexity

From 01.02.04 to 06.02.04, the Dagstuhl Seminar 04061 ``Real Computation and Complexity\u27\u27 was held in the International Conference and Research Center (IBFI), Schloss Dagstuhl. During the seminar, several participants presented their current research, and ongoing work and open problems were discussed. Abstracts of the presentations given during the seminar as well as abstracts of seminar results and ideas are put together in this paper. The first section describes the seminar topics and goals in general. Links to extended abstracts or full papers are provided, if available

Contributions vers l'accélération de l'algorithme de Buchberger en combinant la méthode de coupure de Knuth-Schönhage et une approche de type sous-résultants

Le but de cette thèse est l'amélioration du calcul des bases de Gröbner. Dans cet esprit, nous proposons une méthode combinant les sous-résultants et une stratégie "divide and conquer" basée sur la méthode de coupure de Knuth-Schönhage. Un progrès majeur pour le calcul des bases de Gröbner serait une implémentation d'une telle méthode sur une plateforme appropriée telle la machine du Turing multi-bande de Schönehage qui n'est pas handicapée par les limites de la RAM. Dans ce contexte surviennent de nombreuses questions techniques. Avec l'idée d'avoir finalement une approche basée sur une substitution à la Kronecker pour traiter les polynômes multivariés, nous présentons une perspective positive pour un futur algorithme rapide de bases de Gröbner et les bases concrètes d'un tel algorithme dans le cadre des polynômes univariés. En fait, les résultats sont un algorithme des sous-résultants pour plusieurs polynômes, prouvé dans les cas génériques et qui marche bien expérimentalement dans tous les cas (y compris les cas non génériques), et un algorithme "divide and conquer" d'élimination sur plusieurs polynômes utilisant à la fois l'approche des sous-résultants et une méthode de coupure. Une implémentation en Magma révèle la supériorité de l'approche combinée sous-résultants et méthode de coupure, déjà pour des polynômes de degré environ 700 pour trois polynômes (et 1250 pour cinq polynômes), et montre ainsi clairement un fort potentiel pour le développement futur de cette approche. Enfin, cette thèse amène de nombreuses questions ouvertes qui sont à résoudre pour atteindre le but initialement fixé.LIMOGES-BU Sciences (870852109) / SudocSudocFranceF

Some Computational Problems in Linear Algebra as Hard as Matrix Multiplication

We define the complexity of a computational problem given by a relation using the model of a computation tree with Ostrowski complexity measure. To a sequence of problems we assign an exponent similar as for matrix multiplication. For the complexity of the following computational problems in linear algebra ffl KER n : Compute a basis of the kernel for a given n \Theta n--matrix. ffl OGB n : Find an invertible matrix that transforms a given symmetric n \Theta n-- matrix to diagonal form. ffl SPR n : Find a sparse representation of a given n \Theta n--matrix. we prove relative lower bounds of the form aM n \Gamma b and absolute lower bounds dn 2 , where M n denotes the complexity of matrix multiplication and a; b; d are suitably chosen constants. We show that the exponent of the problem sequences KER; OGB; SPR is the same as the exponent ! of matrix multiplication